A causa de nuestra relación con la fotografía y con la transformación que en esta supone el advenimiento de la imagen digital, os ofrecemos a menudo muestras significativas de artistas e investigadores de los límites de nuestra percepción en el mundo virtual que construimos con píxeles, y, en esta ocasión, me parece de lo más oportuno e interesante ofreceros este artículo de César Tomé para Cuaderno de Cultura Científica. Muy recomendable para estudiantes y profesionales de la imagen digital.
La transformación del fotomatón
Una transformación biyectiva de una imagen de n por m píxeles, es una modificación de esta imagen sobre sí misma: cada pixel se desplaza de su lugar a otro –y el que ocupa ese lugar se mueve a otro sitio–, ningún pixel se pierde –sólo cambia de posición–: en matemáticas se habla de una permutación de los estos píxeles.
La transformación del fotomatón –se denomina así porque el fotomatón nos devuelve cuatro fotografías ‘parecidas’– parte de una imagen con un número par de filas y columnas, que se recompone en cuatro imágenes reducidas.
Para ello, se recorta la imagen en cuadrados de cuatro píxeles, y para cada uno de ellos, se utiliza el pixel de arriba a la izquierda para la imagen –de tamaño la mitad– arriba a la izquierda, el pixel arriba a la derecha para la imagen arriba a la derecha, etc. Más adelante describiremos esta operación con más precisión.
Si se aplica al cuadro de la Gioconda esta transformación, en la primera iteración se obtienen cuatro copias de la Mona Lisa, en la segunda dieciséis, en la tercera sesenta y cuatro copias, etc.
La imagen de debajo consta de nueve imágenes ilustrando las etapas de la transformación del fotomatón sobre una imagen de 256 x 256 píxeles de la Gioconda: sorprendentemente, en ocho iteraciones, la imagen de la Mona Lisa vuelve a aparecer, y es idéntica a la imagen de partida.
¿Cómo se puede explicar esta increíble paradoja gráfica? La solución es matemática y se basa en una propiedad de las permutaciones.
El conjunto de las permutaciones sobre un conjunto finito forma un grupo –el grupo simétrico–, y puede demostrarse que si p es una permutación, existe un número entero k, tal que si p se aplica k veces, se recupera la transformación identidad –la permutación que no cambia nada–.
Para aclarar esta idea, supongamos un conjunto con cinco objetos {A,B,C,D,E} y llamemos p a la permutación que intercambia el primer y tercer objetos, lleva el segundo objeto a la cuarta posición, el cuarto al quinto lugar y el quinto pasa a ocupar la segunda posición. Puede simbolizarse esta transformación por:
ABCDE → CEABD
Si seguimos iterando p, obtenemos sucesivamente:
ABCDE → CEABD → ADCEB → CBADE → AECBD → CDAEB → ABCDE,
es decir, en seis iteraciones, hemos regresado a la configuración inicial.
La transformación del fotomatón es una permutación de un conjunto finito de píxeles, y por lo tanto, al iterarla un cierto número de veces, debe recuperarse la configuración original.
¿Por qué son ocho en el caso de la Mona Lisa? La imagen original consta de 256 líneas y 256 columnas –numeradas de 0 a 255–. La transformación descrita consiste en realizar la siguiente operación: se toman todas las líneas con número par, y se vuelven a colocar ordenadas en cabeza de una nueva lista de líneas, seguidas del paquete de líneas impares en orden. Por ejemplo, si hubiera ocho líneas, la configuración inicial 01234567 cambiaría a 02461357.
Se hace lo mismo para las columnas –esto explica la aparición de cuatro versiones más pequeñas de la imagen original–. Así, para un número par 2k –de fila o de columna– se pasa a k, y para un número impar 2k+1 se pasa a 128+k.
Cada pixel está representado por un par (m,n) que indica que está situado en la fila n y la columna m. Con la transformación del fotomatón, el pixel (0,0) sigue quedando en posición (0,0), el pixel (1,0) pasa a la posición (128,0), el pixel (1,1) pasa a la posición (128,128), el pixel que ocupa el lugar (4,5) pasa al lugar (2,130), etc.
El estudio de esta trasformación permite demostrar que en ocho iteraciones se vuelve a la imagen original, es decir, la primera y la novena imagen son idénticas. Sin entrar en detalles, el que la imagen número 9 sea justamente la original tiene que ver con esta propiedad:
(2 x 256) – 1 = 511 = 29 - 1.
Observar que las cuatro imágenes que aparecen tras una iteración no son una copia exacta de la imagen original: los píxeles que las forman no son los mismos que en la imagen de partida, pero ‘de lejos’, los pequeños detalles que las diferencian no se aprecian.
Referencias:
[1] Jean-Paul Delahaye y Philippe Mathieu, Images brouillées, Images retrouvées, Pour la Science 242 (1997) 102-106
[2] Jean-Paul Delahaye, Au pays des paradoxes, Bélin, 2008 (págs.36-39)
[3] Jean-Paul Delahaye, Mona Lisa au photomaton, Images des Mathématiques, CNRS, 2013
Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.
Esta entrada participa en la edición 5.6: Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Cifras y teclas.
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